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等差数列是高考数列大题的基础款，公式不多但用法灵活：通项、前 n 项和、中项性质、an 与 Sn 的互化。本文把公式体系和四类常见题型整理清楚，并用散点图让你亲眼看到”等差数列的点为什么落在一条直线上”。
一、定义与通项公式
从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数 d，这样的数列叫等差数列。通项公式：aₙ = a₁ + (n−1)d。整理成 aₙ = dn + (a₁−d)，这是关于 n 的一次函数——所以把 (n, aₙ) 画成点，所有点整齐地排在一条直线上，直线斜率就是公差 d。这就是等差数列最本质的图像特征。
二、前 n 项和的两个等价公式
Sₙ = n·a₁ + n(n−1)d/2 = n(a₁+aₙ)/2。第一个是”首项加公差”版，第二个是”首尾平均乘项数”版（倒序相加法的结论）。Sₙ 展开后是关于 n 的二次函数（常数项为零）——等差数列前 n 项和没有常数项，这也是判断小题的考点。
三、中项性质与常用结论
① 若 m+n=p+q，则 aₘ+aₙ=aₚ+a_q；② aₘ+aₙ=2a(m+n)/2（中项）；③ Sₙ、S₂ₙ−Sₙ、S₃ₙ−S₂ₙ 仍成等差数列。这些结论能把”求具体项”转化为”求和”，大幅减少计算量。
四、动手试试：点排成直线
交互演示拖动首项 a₁ 与公差 d：散点 (n, aₙ) 实时重排，蓝色虚线显示这些点所落在的直线（斜率 = d）。把 d 拖成负数，看直线掉头向下；拖成 0，看所有点排成水平——常数列也是等差数列。
💡 拖动首项与公差，验证等差数列的点恒在一条直线上
五、高频题型
① 已知两项求 a₁、d（解二元一次方程组）；② 由 Sₙ 求 aₙ（n≥2 时 aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁）；③ 前 n 项和的最值（看 d 的符号找转折项）。配套工具：等比数列：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/shulie-dengbi.html 递推公式：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/shulie-ditui.html