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正态分布是概率统计的压轴知识：生活中身高、测量误差、考试成绩的分布都近似正态。高考围绕它考查对称性、3σ 原则的概率估计、正态曲线的平移变化。本文讲透参数含义与 3σ 原则，附可拖动参数的交互曲线。
一、两个参数：μ 定位置，σ 定胖瘦
X ~ N(μ, σ²)：均值 μ 决定曲线的中心位置（曲线关于 x=μ 对称，并在 x=μ 处取最大值 1/(σ√(2π))）；标准差 σ 决定曲线的胖瘦——σ 越小，曲线越高瘦，数据越集中；σ 越大，曲线越矮胖，数据越分散。改变 μ 曲线整体左右平移，形状不变。
二、3σ 原则（背熟三个数）
P(μ−σ < X < μ+σ) ≈ 68.3%；P(μ−2σ < X < μ+2σ) ≈ 95.4%；P(μ−3σ < X < μ+3σ) ≈ 99.7%。利用对称性可以推出单侧概率，例如 P(X > μ+σ) = (1−68.3%)/2 ≈ 15.85%。这三组数是正态分布题的计算基础。
三、对称性的灵活运用
正态曲线关于 x=μ 对称，所以 P(X < μ−a) = P(X > μ+a)，P(μ−a < X < μ+a) = 1 − 2P(X > μ+a)。若已知 P(X < a) = p，利用对称可求 P(X < 2μ−a) = 1−p——这类”镜像换轴”题是小题热门。
四、动手试试：拖动 μ 与 σ
交互演示拖动均值 μ 看曲线左右平移，拖动标准差 σ 看曲线高瘦矮胖：蓝色深浅标注 μ±σ、μ±2σ、μ±3σ 区间，面板实时显示各区间的概率（68.3%、95.4%、99.7% 恒成立）。把 σ 拖小，观察曲线”立起来”的过程。
💡 拖动 μ 与 σ，观察钟形曲线与 3σ 区间概率
五、易错提醒
① 3σ 概率对应的是区间，单侧概率要除以 2；② 总面积恒为 1；③ 曲线最高点会随 σ 变化（不是恒定的）。配套工具：直方图：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/tongji-zhifangtu.html 二项分布：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/tongji-erxiang-tiaojian.html