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圆有一条”对称轴家族”：每条直径都是对称轴。垂径定理正是这种对称性的精确表达——垂直于弦的直径不仅平分弦，还平分弦所对的两条弧。它把圆的问题化归为直角三角形问题，是圆章节计算题的第一工具。本文附可拖动的交互演示。
一、定理内容
若直径（或过圆心的直线）垂直于弦 AB 于点 M，则 AM = MB，且该直径平分弦 AB 所对的优弧与劣弧。逆命题也常用：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦。
二、计算模型：直角三角形 OAM
连接圆心 O 与弦的端点 A，得到直角三角形 OAM：斜边是半径 r，一条直角边是圆心距 d = OM，另一条是半弦 AM。由勾股定理：AM = √(r² − d²)，弦长 AB = 2√(r² − d²)。知道 r、d、弦长三者中的任意两个，就能求第三个。
三、典型应用
① 已知半径与弦长求圆心距；② 拱桥/隧道截面问题：拱高 = r − d；③ 与圆周角、弧的问题联合出题时，先用垂径定理找中点与垂直关系。
四、动手试试：拖动弦的位置
💡 改变圆心距 d，观察弦长变化：d 越小弦越长，d = 0 时弦就是直径；面板实时给出 √(r²−d²) 的计算。
五、易错提醒
① 定理条件是”直径 ⊥ 弦”，不是任意一条垂直线；② 弦长公式别忘了乘 2；③ 平分弦的直径垂直于弦这一逆命题中，被平分的弦不能是直径。
配套工具：圆周角圆心角：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/chuzhong-yuanzhou-jiaoxin-jiao.html 直线与圆：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/chuzhong-zhixian-yu-yuan.html 柱锥球：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/chuzhong-yuanzhu-yuanzhui-qiu.html
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