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一条弧对着两类角：顶点在圆心的圆心角，顶点在圆上的圆周角。圆周角定理揭示了它们的定量关系：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。这个定理是圆中角度计算的枢纽。本文附圆上动点交互演示。
一、定理与推论
同弧（或等弧）所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。由此得到两个高频推论：① 同弧所对的圆周角处处相等（动点在弧外移动，角度不变）；② 半圆（直径）所对的圆周角是 90°，反之 90° 圆周角所对的弦是直径。
二、为什么恰好是一半
分三种情形讨论：圆心在圆周角的一边上、内部、外部。以”一边上”为例：连接顶点与圆心的半径构成等腰三角形，外角等于两底角之和，恰好推出圆心角 = 2×圆周角；其余情形可化归于此。
三、常见题型
① 已知圆心角求同弧圆周角（减半即可）；② 圆内接四边形对角互补（两组对角各占两段弧的圆周角之和）；③ 证垂直：找直径所对的圆周角。
四、动手试试：拖动圆上的点 A
💡 沿优弧拖动点 A：∠BAC 始终等于 ∠BOC 的一半——同弧所对的圆周角与点的位置无关。
五、易错提醒
① “同弧”是前提：不同弧所对的角没有减半关系；② 圆心角是圆周角的 2 倍，方向别弄反；③ 直径对直角要写全条件：弦必须是直径，角顶点必须在圆上。
配套工具：垂径定理：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/chuzhong-yuan-jiben-xingzhi.html 直线与圆：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/chuzhong-zhixian-yu-yuan.html 圆柱圆锥球：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/chuzhong-yuanzhu-yuanzhui-qiu.html
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