由 admin 
复数的四则运算规则不难记，难的是理解”为什么”——一旦把代数运算翻译成复平面上的几何动作，加法的平行四边形、减法的指向向量、乘法的旋转伸缩全都一目了然。本文代数与几何两条线并讲，附可切换运算的交互模型。
一、加法与减法：向量的合成与差
(a₁+b₁i)±(a₂+b₂i) = (a₁±a₂)+(b₁±b₂)i。几何意义：加法等同向量加法的平行四边形法则，z₁+z₂ 是对角线；减法 z₁−z₂ 是从 Z₂ 指向 Z₁ 的向量，其模 |z₁−z₂| 正是两点距离——这几乎是复数几何题的唯一考点。
二、乘法：展开合并，i²=−1
(a₁+b₁i)(a₂+b₂i) = (a₁a₂−b₁b₂) + (a₁b₂+b₁a₂)i。几何意义更深一层：模相乘、辐角相加。乘一个模为 1 的复数（如 cos θ+i sin θ）就是纯旋转 θ 角；乘 i 就是逆时针旋转 90°。这也是”复数乘法不满足……”一类判断题的背景。
三、除法：分母实数化
z₁/z₂ = z₁·z̄₂/|z₂|²——分子分母同乘分母的共轭，把分母变成实数 |z₂|²，再展开。几何意义与乘法相反：模相除、辐角相减。高考小题常见”求 z= (1+i)/(1−i) 之类”，实数化是标准动作。
四、动手试试：切换三种运算
交互模型可切换加法、减法、乘法三种模式：加法显示平行四边形合成，减法显示”从 Z₂ 指向 Z₁”的红色向量，乘法展示结果向量并给出模相乘的数值验证。拖动 z₁、z₂ 的实部虚部，观察结果如何联动。
💡 切换加减乘三种运算，观察对应的几何动作
五、常用速记
i 的幂四周期：i¹=i，i²=−1，i³=−i，i⁴=1；(1±i)²=±2i；乘 i 旋转 90°。这些速记能大幅压缩小题计算时间。配套工具：复平面：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/fushu-jihemian.html