由 admin 
数量积（点乘）是向量章节最重要的运算——求长度、证垂直、算夹角全靠它。它与普通乘法最大的区别是：结果是标量，且由夹角决定。本文讲透公式、几何意义与三大应用，附交互演示看投影。
一、定义与两种计算方式
定义式：a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cosθ（θ 为两向量夹角，范围 [0, π]）；坐标式：a⃗·b⃗ = x₁x₂+y₁y₂。两个公式互为验证，解题时哪个方便用哪个。特别注意：数量积不满足结合律——(a⃗·b⃗)·c⃗ ≠ a⃗·(b⃗·c⃗)，前者是与 c⃗ 共线的向量，后者是与 a⃗ 共线的向量。
二、几何意义：投影
a⃗·b⃗ = |a⃗| ×（b⃗ 在 a⃗ 方向上的投影长）。投影 = |b⃗|cosθ，可正可负可为零。物理上力做功 W = F·s 就是数量积的原型。交互演示中绿色线段就是投影：拖动 b⃗ 改变夹角，看投影如何从正变零再变负。
三、三大应用
① 求长度：|a⃗| = √(a⃗·a⃗)，求线段模长先平方再开方；② 垂直判定：a⃗⊥b⃗ ⇔ a⃗·b⃗ = 0 ⇔ x₁x₂+y₁y₂ = 0（非零向量）——这是证明垂直的万能工具；③ 求夹角：cosθ = a⃗·b⃗/(|a⃗||b⃗|)，锐角 ⇔ 点积＞0（且夹角不为 0），钝角 ⇔ 点积＜0（且夹角不为 π）——注意排除共线情形是常考陷阱。
四、动手试试：拖动看夹角与投影
交互演示中拖动 a⃗、b⃗ 的分量，紫色弧标出夹角 θ，绿色粗线段是投影，面板实时给出点积、模长、cosθ 与夹角度数，并自动判定垂直/锐角/钝角。试着把 b⃗ 转到与 a⃗ 垂直，看点积归零的瞬间。
💡 拖动两个向量，观察夹角、投影与数量积的关系
五、坐标运算常用结论
① |a⃗| = √(x²+y²)；② a⃗∥b⃗ ⇔ x₁y₂−x₂y₁=0；③ 线段中点坐标 = 两端点坐标平均。配套工具：向量加减法：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/xiangliang-jiajian.html 数乘与共线：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/xiangliang-shucheng-gongxian.html