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π 除了用圆周长公式，还能用”撒点”算出来？这正是蒙特卡洛方法：把确定性的数学问题翻译成随机试验，用频率逼近理论值。它是计算数学的重要思想，也是初中统计与圆的完美交汇。本文附撒点模拟演示。
一、原理：面积比 = 落点频率
边长 2r 的正方形内，内切圆半径 r。圆面积 πr²，正方形面积 4r²，两者之比为 π/4。随机均匀撒点时，点落入圆内的频率 ≈ 圆面积 ÷ 正方形面积 = π/4，所以 π ≈ 4 × 频率。
二、实验步骤
① 在正方形内随机撒点；② 统计落在圆内的点数；③ 计算频率并乘 4 得到 π 的估计值。撒点越多，估计越精确——这正是大数定律在圆周率上的应用。
三、收敛规律
100 个点估计值可能在 2.8–3.5 乱跳；10000 个点通常已贴近 3.14。误差大致按 1/√n 的速度缩小：精度提高 10 倍，点数要增加 100 倍。
四、动手试试：撒点看 π 收敛
💡 分批撒点，观察左图青绿点（圆内）的比例与右图曲线的收敛：点数越多，π 估计越贴着虚线 3.14159…
五、易错提醒
① 别忘了乘 4：频率逼近的是 π/4 不是 π；② 撒点要”随机且均匀”，否则估计有偏；③ 蒙特卡洛结果是统计估计，每次运行略有不同，这正是它的特征。
配套工具：频率与概率：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/chuzhong-pindou-gailv.html 垂径定理：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/chuzhong-yuan-jiben-xingzhi.html 树状图：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/chuzhong-shuzhuangtu.html
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