由 admin 
导数压轴题的最后一问，十有八九是”证明不等式恒成立”。套路其实高度模板化：构造差函数 → 求导 → 找最值 → 比较零点。本文把这个四步模板讲透，并用两个经典不等式 eˣ≥x+1 与 lnx≤x−1 配图演示。
一、为什么要构造差函数
要证 f(x) ≥ g(x)（在某区间恒成立），等价于证 h(x) = f(x) − g(x) ≥ 0。问题从”比较两个函数”转化为”证明一个函数的最小值非负”——这正是导数最擅长的事。构造方式还有比值构造（证 f/g ≥ 1）等变形，但差函数是最通用的。
二、四步模板
① 构造：h(x) = f(x) − g(x)，写明定义域；② 求导：解 h′(x) = 0 找驻点；③ 单调性表：验证驻点是最小值点（左减右增）；④ 下结论：h(x) ≥ h(x₀)，算出 h(x₀) ≥ 0 即证毕，同时写出等号成立条件。
III、两个必须记住的经典结论
eˣ ≥ x+1（一切 x，等号当 x=0）：g(x)=eˣ−x−1，g′(x)=eˣ−1，x=0 处取最小值 0。ln x ≤ x−1（x＞0，等号当 x=1）：是前者的”对偶”，g(x)=ln x−x+1 在 x=1 取最大值 0。这两个不等式在放缩、比大小、含参讨论里反复出现，建议背下结论、记住证明骨架。
四、动手试试：两个不等式的图形证明
交互演示里蓝线是被放缩的函数，灰色虚线是放缩目标，红线是差函数 g(x)。红线始终在 x 轴的同一侧（≥0 或 ≤0），最低（高）点就是等号成立处。切换两个例子，拖动取点验证。
💡 切换两个经典不等式，看差函数与最值点
五、升级版：含参恒成立求范围
“对一切 x∈[a,b]，f(x) ≥ m 恒成立”⇔ m ≤ f 在该区间的最小值。把”恒成立”翻译成”最值不等式”，再走四步模板。配套工具：极值与最值：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/daoshu-jizhi-zuizhi.html 割线切线：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/daoshu-gexian-qielian.html