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圆柱、圆锥、球都由平面图形旋转而成（旋转体），它们的体积与表面积公式是初中几何的收官内容。三个公式看似独立，其实一脉相承：都与底面积 πr² 或半径 r 直接相关。本文附可旋转的立体交互演示。
一、圆柱：底面积 × 高
V = πr²h（底面积乘高）。表面积 = 2πr² + 2πrh：两个底面圆加侧面。侧面展开是一个长方形——长等于底面周长 2πr，宽等于高 h，这是侧面积公式的直观来历。
二、圆锥：三分之一从哪来
V = ⅓πr²h：等底等高的圆锥体积恰好是圆柱的三分之一（实验：圆锥装满沙倒入同底同高圆柱，正好三次倒满）。侧面展开是扇形：扇形半径 = 母线 l = √(r²+h²)，弧长 = 底面周长 2πr，侧面积 = πrl。
三、球：只含半径的公式
V = 4/3·πr³，S = 4πr²。球的表面积恰为 4 个大圆面积（阿基米德的惊人发现）。球的公式只含 r：半径翻倍，表面积变 4 倍，体积变 8 倍。
四、动手试试：旋转与改尺寸
💡 拖动改变 r 与 h，公式里的每个数实时重算；左右拖旋转看母线/经线移动，上下拖改变俯仰角。
五、易错提醒
① 圆锥体积别忘了 ⅓ 系数；② 圆锥侧面积的扇形半径是母线 l，不是底面半径 r；③ 球的”高”不存在，见到圆柱内切球之类的问题先画轴截面。
配套工具：三视图：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/chuzhong-sanshitu.html 正方体展开：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/chuzhong-zhengfangti-zhankai.html 圆周角圆心角：https://www.beitaiku.com/wp-content/uploads/2026/08/chuzhong-yuanzhou-jiaoxin-jiao.html
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